Question

（本小題滿分15分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，如果存在曲線上的點(diǎn)，且，使得曲線在點(diǎn)處的切線∥，則稱為弦的伴隨切線。特別地，當(dāng)，時(shí)，又稱為的λ——伴隨切線。
（ⅰ）求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線 ，并證明你的結(jié)論； 若不存在 ，說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值；
當(dāng)時(shí)，的極大值為，沒(méi)有極小值。（Ⅱ）見解析        

（Ⅰ）  
當(dāng)，，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，
∴函數(shù)沒(méi)有極值。       當(dāng)時(shí)，令，得。
當(dāng)變化時(shí)，與變化情況如下表：

	＋	0	－
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴當(dāng)時(shí)，取得極大值。
綜上，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值；
當(dāng)時(shí)，的極大值為，沒(méi)有極小值。          
（Ⅱ）（�。┰O(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，要證明
有伴隨切線，只需證明存在點(diǎn)，使得
，且點(diǎn)不在上。
∵，即證存在，使得，即成立，且點(diǎn)不在上。   …………………8分
以下證明方程在內(nèi)有解。…
記，則。
令，
∴，
∴在內(nèi)是減函數(shù)，∴。
取，則，即�！�…9分
同理可證�！�。
∴函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)。
即方程在內(nèi)有解。又對(duì)于函數(shù)取，則
可知，即點(diǎn)Q不在上。
是增函數(shù)，∴的零點(diǎn)是唯一的，
即方程在內(nèi)有唯一解。
綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。
（ⅱ）取曲線C：，則曲線的任意一條弦均有伴隨切線。
證明如下：
設(shè)是曲線C上任意兩點(diǎn)，
則，
又，
即曲線C：的任意一條弦均有伴隨切線。  
注：只要考生給出一條滿足條件的曲線，并給出正確證明，均給滿分。若只給曲
線，沒(méi)有給出正確的證明，請(qǐng)酌情給分。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，要證明
有伴隨切線，只需證明存在點(diǎn)，使得
，且點(diǎn)不在上。 ∵，即證存在，使得，
即成立，且點(diǎn)不在上�！�…………  8分
以下證明方程在內(nèi)有解。
設(shè)�！�
則。
記，
∴，
∴在內(nèi)是增函數(shù)，
∴。  同理。。
∴方程在內(nèi)有解。又對(duì)于函數(shù)，
∵，，
可知，即點(diǎn)Q不在上。
又在內(nèi)是增函數(shù)，
∴方程在內(nèi)有唯一解。
綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。
（ⅱ）同解法一。