【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BC= ,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA1

(1)求證:CD=C1D;
(2)求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值.

【答案】
(1)證明:連接B1A交BA1于O,

∵PB1∥平面BDA1,B1P面AB1P,面AB1P∩面BA1D=OD,

∴B1P∥OD,又O為B1A的中點,

∴D為AP中點,∴C1為A1P中點,

∴△ACD≌△PC1D,∴CD=C1D.


(2)解:∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,

∴AB⊥AC,

以A1為坐標(biāo)原點,以A1B1,A1C1A1A所在直線建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.

由(1)知C1為A1P中點,

∴A1(0,0,0),B1(1,0,0), ,P(0,2,0),

, =(0,1, ),

設(shè)平面A1B1D的法向量

,

,取z=2,得y=﹣1,∴

,

設(shè)平面PB1D的法向量 ,

,

,取x=2,得y=1,2,

∴平面PB1D的法向量

設(shè)二面角A1﹣B1D﹣P平面角為θ,

,


【解析】(1)連接B1A交BA1于O,由已知條件推導(dǎo)出△ACD≌△PC1D,由此能夠證明CD=C1D;(2)以A1為坐標(biāo)原點,以A1B1 , A1C1A1A所在直線建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能夠求出二面角A1﹣B1D﹣P的正弦值.

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該產(chǎn)品的質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:鑒定成績達到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為優(yōu)秀;鑒定成績達到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為良好;鑒定成績達到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為合格將這組數(shù)據(jù)的頻率視為整批產(chǎn)品的概率.

從等級為優(yōu)秀的樣本中隨機抽取兩件,記X為來自B機器生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量,寫出X的分布列,并求X的數(shù)學(xué)期望;

完成下列列聯(lián)表,以產(chǎn)品等級是否達到良好以上含良好為判斷依據(jù),判斷能不能在誤差不超過的情況下,認為B機器生產(chǎn)的產(chǎn)品比A機器生產(chǎn)的產(chǎn)品好;

A生產(chǎn)的產(chǎn)品

B生產(chǎn)的產(chǎn)品

合計

良好以上含良好

合格

合計

已知優(yōu)秀等級產(chǎn)品的利潤為12元件,良好等級產(chǎn)品的利潤為10元件,合格等級產(chǎn)品的利潤為5元件,A機器每生產(chǎn)10萬件的成本為20萬元,B機器每生產(chǎn)10萬件的成本為30萬元;該工廠決定:按樣本數(shù)據(jù)測算,兩種機器分別生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品,若收益之差達到5萬元以上,則淘汰收益低的機器,若收益之差不超過5萬元,則仍然保留原來的兩臺機器你認為該工廠會仍然保留原來的兩臺機器嗎?

附:獨立性檢驗計算公式:

臨界值表:

k

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