Question

達(dá)州市萬源中學(xué)實(shí)施“陽光體育”素質(zhì)教育，要求學(xué)生在校期間每天上午第二節(jié)課下課后迅速到操場參加課間活動(dòng)．現(xiàn)調(diào)查高三某班70名學(xué)生從教室到操場路上所需時(shí)間（單位：分鐘）并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布表（如圖），其中，路上所需時(shí)間的范圍是（0，10]，樣本數(shù)據(jù)分組為（0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10）．

時(shí)間	（0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10）
頻數(shù)	a		c	d	e
頻率	0.2	b	0.2	0.1	0.1

（Ⅰ）根據(jù)圖表提供的信息求頻數(shù)分布表中的a，b，c，d，e的值；
（Ⅱ）根據(jù)圖表提供的信息估計(jì)這70名學(xué)生平均用時(shí)和用時(shí)的中位數(shù)；
（Ⅲ）從（0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10）的人群中采用分層抽樣法抽取10人進(jìn)一步了解參加鍛煉的情況，秉承（0，2），[2，4），中選取2人，從[4，6），[6，8），[8，10）中選取3人共5人作為代表發(fā)言，求選取5名代表中（0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10）各1人的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）根據(jù)樣本容量為70，各組的累積頻率為1，結(jié)合頻數(shù)=頻率×樣本容量，可求出頻數(shù)分布表中的a，b，c，d，e的值；
（Ⅱ）累加各組組中值和頻率的乘積，可得到平均數(shù)的估計(jì)值，分析使頻率為0.5的時(shí)間值，可得到中位數(shù)的估計(jì)值；
（III）分別計(jì)算從（0，2），[2，4）中選取2人，從[4，6），[6，8），[8，10）中選取3人的取法總數(shù)，及滿足條件選取5名代表中（0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10）各1人的取法數(shù)目，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案．

解答： 解：（I）∵樣本容量為70，各組的累積頻率為1，
故a=70×0.2=14，
b=1-（0.2+0.2+0.1+0.1）=0.4，
c=70×0.2=14，
d=70×0.1=7，
e=70×0.1=7，
（II）由1×0.2+3×0.4+5×0.2+7×0.1+9×0.1=4，
可知這70名學(xué)生平均用時(shí)約為4分鐘；
由（0，2）的頻率為0.2＜0.5
（0，4）的頻率為0.2+0.4=0.6＞0.5，
可知這70名學(xué)生用時(shí)的中位數(shù)a∈[2，4]
且a=2+

0.5-0.2

0.4

×(4-2)=

7

2

=3.5，
故這70名學(xué)生用時(shí)的中位數(shù)約為3.5分．
（III）從（0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10）的人群中采用分層抽樣法抽取10人，
則須從（0，2）中抽取10×0.2=2人，
從[2，4）中抽取10×0.4=4人，
從[4，6）中抽取10×0.2=2人，
從[6，8）中抽取10×0.1=1人，
從[8，10）中抽取10×0.1=1人，
若從（0，2），[2，4）中選取2人，從[4，6），[6，8），[8，10）中選取3人，則共有

C

2 6

•

C

3 4

=60種不同情況，
其中選取5名代表中（0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10）各1人有

C

1 2

•

C

1 4

•

C

1 2

•

C

1 1

•

C

1 1

=16種不同情況，
故選取5名代表中（0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10）各1人的概率P=

16

60

=

4

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布表的畫法及應(yīng)用，分層抽樣，古典概型概率計(jì)算公式，是統(tǒng)計(jì)與概率較為綜合的應(yīng)用，難度中檔．