Question

【題目】已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）= ，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）討論a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值；
（2）求證：在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+ ；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因?yàn)? ，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．

當(dāng)1＜x≤e時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．所以函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=1．

（2）

證明：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的極小值為1，即函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值為1．

又 ，所以當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g'（x）＞0，此時(shí)g（x）單調(diào)遞增．

所以g（x）的最大值為g（e）= ，所以 ，所以在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+ ．

（3）

解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，則 ，

①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減， ，（舍去），此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值不是3．

②當(dāng)0 時(shí)，f（x）在（0， ]上單調(diào)遞減，f（x）在（ ，e]上單調(diào)遞增．

所以 ，滿足條件．

③當(dāng) 時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減， ，（舍去），此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值是不是3．

綜上可知存在實(shí)數(shù)a=e2，使f（x）的最小值是3

【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)性．（2）利用（1）的結(jié)論，求函數(shù)f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它們之間的關(guān)系證明不等式．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，讓最小值等于3，解參數(shù)a．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．