Question

【題目】定義：設(shè)為上的可導(dǎo)函數(shù)，若為增函數(shù)，則稱為上的凸函數(shù).

（1）判斷函數(shù)與是否為凸函數(shù)；

（2）設(shè)為上的凸函數(shù)，求證：若， ，則恒有成立；

（3）設(shè)， ， ，求證： .

Answer 1

【答案】（1）不是， 是；（2）詳見解析（3）詳見解析

【解析】試題分析：（1）由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否為增函數(shù)可得（2）先證明n=2時(shí)，不等式成立，再通過數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，不等式成立。（3）令， ， ，即證：（）成立，由（1）得為凸函數(shù)，而，即證。

試題解析：（1）因?yàn)?/span>的導(dǎo)函數(shù)不是增函數(shù)，所以不是凸函數(shù)， 是；

（2）時(shí)，即證： 且時(shí)，

不防設(shè)， ，令

因?yàn)?/span>

且時(shí)遞增函數(shù)，所以，即為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以，即；

假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，

即， ， ， ，有成立，

則時(shí)， ， ， ， ，有

所以時(shí)，結(jié)論也成立，

綜合以上可得，原結(jié)論成立.

（3）令， ， ，即證：（）

成立，

由（1）得為凸函數(shù)，而，

有

而，同理有：

，

則成立，得證.