Question

已知a_n=4ⁿ+15n-1（n∈N^*）．
（1）計算a₁，a₂，a₃；猜想是否存在最大的正整數(shù)m，使得a_n能被m整除；
（2）運用數(shù)學歸納法證明（1）中猜想的結(jié)論．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）利用a_n=4ⁿ+15n-1，計算a₁，a₂，a₃；因為3個數(shù)的最大公約數(shù)為9，所以可猜想存在最大的正整數(shù)m，使得a_n能被m整除；
（2）用數(shù)學歸納法證明，檢驗n=1時，猜想成立；假設(shè)n=k（k∈N^*）時結(jié)論成立，即4^k+15k-1能被9整除，則當n=k+1時，由條件可得當n=k+1時，也成立，從而猜想仍然成立．

解答： 解：（1）計算a₁=18=9×2，a₂=45=9×5，a₃=108=9×12；    …3分
因為3個數(shù)的最大公約數(shù)為9，
猜想存在最大的正整數(shù)m=9，能使得a_n=4ⁿ+15n-1（n∈N^*）能被m整除．…6分
（2）數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，a₁=18=9×2，能被9整除，結(jié)論成立；            …7分
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時結(jié)論成立，即4^k+15k-1能被9整除         …9分
則當n=k+1時，a_k+1=4^k+1+15（k+1）-1
變形a_k+1=4•4^k+15k+14=4（4^k+15k-1）-45k+18∴a_k+1=4（4^k+15k-1）+9（2-5k）…11分
因為由假設(shè)結(jié)論可知4^k+15k-1能被9整除，又因為9（2-5k）也能被9整除   …12分
所以a_k+1=4^k+1+15（k+1）-1也能被9整除
所以則當n=k+1時，結(jié)論成立                     …14分
由①②可知，對任意n∈N^*，都有a_n能被9整除成立．…15分．

點評：本題主要考查數(shù)學歸納法的應(yīng)用，用歸納法證明數(shù)學命題時的基本步驟：（1）檢驗n=1成立（2）假設(shè)n=k時成立，由n=k成立推導n=k+1成立，要注意由歸納假設(shè)到檢驗n=k+1的遞推．