Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若且，設(shè)是函數(shù)的零點(diǎn).

（i）證明：時(shí)存在唯一且；

（ii）若，記，證明：.

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2) （i）證明見解析.(2)（ii）證明見解析.

【解析】

(1)對(duì)求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得單調(diào)區(qū)間；

(2) （i）根據(jù)(1)得函數(shù)的單調(diào)性，判斷端點(diǎn)的函數(shù)的正負(fù)可得證；

(2) （ii）運(yùn)用數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和和不等式放縮技巧得證.

(1)由已知得,

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，，

，

所以在和單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增.

綜上可得：

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增.

(2) （i）由(1)知：，在上單調(diào)遞增；且，

所以在存在唯一的零點(diǎn)，

而，

且時(shí)，，

所以：時(shí)存在唯一且，

故得證.

(2) （ii）當(dāng)時(shí)，，所以

所以，

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，

所以，所以，又

所以

所以，

故得證.