Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|
（1）求不等式f（x）＜6的解集；
（2）設m，n，p為正實數(shù)，且m+n+p=f（2），求證：mn+np+pm≤3．

Answer 1

【答案】
（1）解：①x≥2時，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，

②﹣1＜x＜2時，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，

③x≤﹣1時，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知無解，

綜上，不等式f（x）＜6的解集為（﹣1，3）；

（2）證明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，

∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p為正實數(shù)

∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，

∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，

∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，

∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）

又m，n，p為正實數(shù)，∴可以解得mn+np+pm≤3．

故證畢．

【解析】（1）利用零點分段法去掉絕對值符號，轉化為不等式組，解出x的范圍；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，將條件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可證得要求證得式子．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．