【題目】在四棱錐中,為正三角形,平面平面,E的中點(diǎn),,

(Ⅰ)求證:平面平面

(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)在棱上是否存在點(diǎn)M,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)在棱上存在點(diǎn)M滿足題意,

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面,由面面垂直的判定定理證得結(jié)論;

(Ⅱ)取中點(diǎn),可證得兩兩互相垂直,由此以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)線面角的向量求法可求得結(jié)果;

(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,由線面垂直的性質(zhì)可知,,由此得到,解出后即可得到結(jié)果.

(Ⅰ),,

平面平面,平面底面平面,

平面,又平面,平面平面.

(Ⅱ)取中點(diǎn),連接,

分別為中點(diǎn),,平面;

為等邊三角形,中點(diǎn),,

平面平面,平面底面,平面,

平面,

則以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系,

,,,

,,

設(shè)平面的法向量

,令,則,,

設(shè)直線與平面所成角為.

即直線與平面所成角的正弦值為.

(Ⅲ)假設(shè)在棱上存在點(diǎn),使得平面,則,

設(shè),又,,

,

,解得:,即,

在棱上存在點(diǎn),使得平面,此時(shí).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】大學(xué)就業(yè)部從該大學(xué)2018年已就業(yè)的大學(xué)本科畢業(yè)生中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行月薪情況的問卷調(diào)查,經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),他們的月薪收入在3000元到10000元之間,具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:

月薪(百萬)

人數(shù)

2

15

20

15

24

10

4

1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),該大學(xué)2018屆的大學(xué)本科畢業(yè)生月薪(單位:百元)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值).若落在區(qū)間的左側(cè),則可認(rèn)為該大學(xué)本科生屬“就業(yè)不理想”的學(xué)生,學(xué)校將聯(lián)系本人,咨詢?cè)滦竭^低的原因,為以后的畢業(yè)生就業(yè)提供更好的指導(dǎo)意見.現(xiàn)該校2018屆大學(xué)本科畢業(yè)生張茗的月薪為3600元,試判斷張茗是否屬于“就業(yè)不理想”的學(xué)生;

2)①將樣本的頻率視為總體的概率,若大學(xué)領(lǐng)導(dǎo)決定從大學(xué)2018屆所有本畢業(yè)生中任意選取5人前去探訪,記這5人中月薪不低于8000元的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望與方差;

②在(1)的條件下,中國移動(dòng)贊助了大學(xué)的這次社會(huì)調(diào)查活動(dòng),并為這次參與調(diào)查的大學(xué)本科畢業(yè)生制定了贈(zèng)送話費(fèi)的活動(dòng),贈(zèng)送方式為:月薪低于的獲贈(zèng)兩次隨機(jī)話費(fèi),月薪不低于的獲贈(zèng)一次隨機(jī)話費(fèi);每次贈(zèng)送的話費(fèi)及對(duì)應(yīng)的概率分別為:

贈(zèng)送話費(fèi)(單位:元)

50

100

150

概率

則張茗預(yù)期獲得的話費(fèi)為多少元?(結(jié)果保留整數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖,則下列結(jié)論正確的是(

注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運(yùn)營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn),對(duì)于下列4個(gè)結(jié)論:①在區(qū)間上存在,滿足;②在區(qū)間有且僅有1個(gè)最大值點(diǎn);③在區(qū)間上單調(diào)遞增;④的取值范圍是,其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )

A.①③B.①③④C.②③D.①④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】乙兩人同時(shí)參加一次數(shù)學(xué)測(cè)試,共有20道選擇題,每題均有4個(gè)選項(xiàng),答對(duì)得3,答錯(cuò)或不答得0,甲和乙都解答了所有的試題,經(jīng)比較,他們只有2道題的選項(xiàng)不同,如果甲最終的得分為54,那么乙的所有可能的得分值組成的集合為________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】數(shù)列滿足: 的前項(xiàng)和為并規(guī)定.定義集合, ,

Ⅰ)對(duì)數(shù)列, , ,求集合

Ⅱ)若集合, ,證明:

Ⅲ)給定正整數(shù)對(duì)所有滿足的數(shù)列,求集合的元素個(gè)數(shù)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,平面 平面, .

(1)證明

(2)設(shè)點(diǎn)在線段上,且,若的面積為,求四棱錐的體積

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的從正面看,蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連接而成,中空柱狀體的底部是由三個(gè)全等的菱形面構(gòu)成,菱形的一個(gè)角度是,這樣的設(shè)計(jì)含有深刻的數(shù)學(xué)原理、我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾專門研究蜂巢的結(jié)構(gòu)著有《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》.用數(shù)學(xué)的眼光去看蜂巢的結(jié)構(gòu),如圖,在六棱柱的三個(gè)頂點(diǎn),處分別用平面,平面,平面截掉三個(gè)相等的三棱錐,,,平面,平面,平面交于點(diǎn),就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu).如圖,以下四個(gè)結(jié)論①;②;③,,,四點(diǎn)共面;④異面直線所成角的大小為.其中正確的個(gè)數(shù)是( ).

A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】用計(jì)算機(jī)生成隨機(jī)數(shù)表模擬預(yù)測(cè)未來三天降雨情況,規(guī)定1,2,3表示降雨,45,6,78,9表示不降雨,根據(jù)隨機(jī)生成的10組三位數(shù):654 439 565 918 288 674 374 968 224 337,則預(yù)計(jì)未來三天僅有一天降雨的概率為(

A.B.C.D.

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