Question

已知雙曲線C：2x²－y²=2與點(diǎn)P(1，2)

(1)求過P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn).
(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.

Answer 1

（1）當(dāng)k=±,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k＞時(shí)，l與C沒有交點(diǎn).
（2）Q為中點(diǎn)的弦不存在.

(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k²)x²+2(k²－2k)x－k²+4k－6="0                                         "
(ⅰ)當(dāng)2－k²=0,即k=±時(shí)，方程有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)
(ⅱ)當(dāng)2－k²≠0,即k≠±時(shí)
Δ=［2(k²－2k)］²－4(2－k²)(－k²+4k－6)=16(3－2k)
①當(dāng)Δ=0,即3－2k=0,k=時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).
②當(dāng)Δ＞0,即k＜,又k≠±,故當(dāng)k＜－或－＜k＜或＜k＜時(shí)，方程有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).
③當(dāng)Δ＜0，即k＞時(shí)，方程無解，l與C無交點(diǎn).
綜上知：當(dāng)k=±,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k＞時(shí)，l與C沒有交點(diǎn).
(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，則2x₁²－y₁²=2,2x₂²－y₂²=2兩式相減得：2(x₁－x₂)(x₁+x₂)=(y₁－y₂)(y₁+y₂)
又∵x₁+x₂=2,y₁+y₂=2
∴2(x₁－x₂)=y₁－y₁
即k_AB==2
但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.