Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在和處有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，.

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）若（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求的最大值.

Answer 1

【答案】；（2）（i）；（ii）.

【解析】

（1）求出和的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；

（2）（i）求得，從而可知方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）由題知、是兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理，得到關(guān)于、的關(guān)系式，再用換元，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，求出函數(shù)的最大值．

（1）若，，，則，，

此時(shí)，函數(shù)在處的切線方程為，即；

（2）（i），，

由題意可知，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，

所以，，解得.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（ii）由（i）得，，

，

令，則，令，其中.

，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，.

因此，當(dāng)時(shí)，的最大值為.