【題目】已知函數(shù)f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[﹣3,3].
(Ⅰ)解不等式:f(x)+f(x+2)>0;
(Ⅱ)若a,b,c均為正實(shí)數(shù),且滿足a+b+c=m,求證: + + ≥3.
【答案】解:(Ⅰ)因?yàn)閒(x+2)=m﹣|x|,f(x+2)≥0等價(jià)于|x|≤m,
由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集為{x|﹣m≤x≤m}.
又f(x+2)≥0的解集為[﹣3,3],故m=3.
所以f(x)+f(x+2)>0可化為:3﹣|x﹣2|+3﹣|x|>0,∴|x|+|x+2|<6.
①當(dāng)x≤﹣2時(shí),﹣x﹣x﹣2<6,∴x>﹣4,又x≤﹣2,∴﹣4<x≤﹣2;
②當(dāng)﹣2<x≤0時(shí),﹣x+x+2<6,∴2<6,成立;
③當(dāng)x>0時(shí),x+x+2<6,∴x<2,又x>0,∴0<x<2.
綜上①、②、③得不等式f(x)+f(x+2)>0的解集為:{x|﹣4<x<2}
(Ⅱ)證明:a,b,c均為正實(shí)數(shù),且滿足a+b+c=3,
因?yàn)椋? + + )(a+b+c)≥(b+c+a)2,所以 + + ≥3
【解析】(Ⅰ)利用已知條件,轉(zhuǎn)化不等式為絕對(duì)值不等式,求m的值,分類討論,即可解不等式:f(x)+f(x+2)>0;(Ⅱ)直接利用柯西不等式,即可證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用不等式的證明,掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 , .
(Ⅰ)求 ,猜想 的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(Ⅱ)設(shè) ,求證:數(shù)列 中任意三項(xiàng)均不成等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=ax2+2(a﹣3)x+1在區(qū)間[﹣2,+∞)上遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0)
B.[﹣3,+∞)
C.[﹣3,0]
D.(0,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+2|+|x|
(1)解不等式f(x)≤4;
(2)若對(duì)x∈R,恒有f(x)>|3a﹣1|成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知n為正整數(shù),在二項(xiàng)式( +2x)n的展開(kāi)式中,若前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于79.
(1)求n的值;
(2)判斷展開(kāi)式中第幾項(xiàng)的系數(shù)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了對(duì)某課題進(jìn)行討論研究,用分層抽樣的方法從三所高校A、B、C的相關(guān)人員中,抽取若干人組成研究小組,有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表(單位:人)
高校 | 相關(guān)人數(shù) | 抽取人數(shù) |
A | x | 1 |
B | 36 | y |
C | 54 | 3 |
(1)求x、y;
(2)若從高校B相關(guān)的人中選2人作專題發(fā)言,應(yīng)采用什么抽樣法,請(qǐng)寫(xiě)出合理的抽樣過(guò)程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn),現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次,記錄如下:
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度(在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中選兩個(gè))分析,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?請(qǐng)說(shuō)明理由
參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)結(jié)論: ①若x>0,則x>sinx恒成立;
②“若am2<bm2 , 則a<b”的逆命題為真命題
③m∈R,使f(x)=(m﹣1)x 是冪函數(shù),且在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減
④對(duì)于命題p:x∈R使得x2+x+1<0,則¬p:x∈R,均有x2+x+1>0
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知cosC=.
(1)若,求△ABC的面積;
(2)設(shè)向量,,且,求sin(B-A)的值.
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