【題目】已知函數(shù)f(x)=xe2x﹣lnx﹣ax.
(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)在[ ,1]上的最小值;
(2)若x>0,不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍;
(3)若x>0,不等式f( )﹣1≥ e + 恒成立,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:a=0時(shí),f(x)=xe2x﹣lnx,

∴函數(shù)f′(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),

又函數(shù)f′(x)的值域?yàn)镽,

x0>0,使得f′(x0)=(2x0+1)e =0,

又∵ ,∴ ,所以當(dāng)x∈[ ]時(shí),f′(x)>0,

即函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ,1]上遞增,所以


(2)解: ,

由(1)知函數(shù)f′(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且x0>0,使得f′(x0)=0,

進(jìn)而函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增,

﹣lnx0﹣ax0

由f′(x0)=0,得:(2x0+1)e ﹣a=0,

,∴f(x0)=1﹣lnx0﹣2x02

x>0,不等式f(x)≥1恒成立,

∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1,∴l(xiāng)nx0+2x02 ≤0,

≤2+0=2.

∴a的取值范圍是(﹣∞,2]


(3)解:由f( )﹣1≥ ,

,

∴xlnx﹣x﹣a≥ ,∴a 對(duì)任意x>0成立,

令函數(shù)g(x)=xlnx﹣x﹣ ,∴ ,

當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0,

∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值g(1)=﹣1﹣ =﹣1﹣ ,

∴a≤﹣1﹣

∴a的取值范圍是(﹣∞,﹣1﹣


【解析】(1.)a=0時(shí), , ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f(x)在[ ,1]上的最小值. (2.) ,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x0)上遞減,在(x0 , +∞)上遞增,由x>0,不等式f(x)≥1恒成立,得lnx0+2x02 ≤0,由此能求出a的取值范圍.(3)由f( )﹣1≥ ,得a 對(duì)任意x>0成立,令函數(shù)g(x)=xlnx﹣x﹣ ,則 ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍.

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