【題目】已知函數(shù).

1)若曲線處的切線的斜率為2,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.是自然對數(shù)的底數(shù),

【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為(2)

【解析】

1)求導(dǎo),由導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義可求得,進(jìn)而得到函數(shù)解析式,再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可得到單調(diào)區(qū)間;
2)對進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù),結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理建立不等式即可求解.

1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

,

,所以,

此時,定義域?yàn)?/span>,,

,解得;令,解得

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

2)函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線.

由(1)知,

1)當(dāng)時,對任意,,,則,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時對任意,都有成立,從而函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn);

2)當(dāng)時,令,得,其中,

①若,即,則對任意,,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,由題意得,且,解得,其中,即,

所以的取值范圍是;

②若,即,則對任意,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時對任意,都有成立,從而函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn);

③若,即,則對任意,;所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,對任意,都有成立;

對任意,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,由題意得

,解得,

其中,即

所以的取值范圍是.

綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且離心率為,M為橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)∠F1MF2=90°時,△F1MF2的面積為1.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)已知點(diǎn)A是橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn),延長直線AF1,AF2分別與橢圓交于點(diǎn)B,D,設(shè)直線BD的斜率為k1,直線OA的斜率為k2,求證:k1·k2等于定值.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析

【解析】

Ⅰ)由題意可求得,則,橢圓的方程為.

Ⅱ)設(shè),,

當(dāng)直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時,.

當(dāng)直線、的斜率存在時,,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理計算可得直線的斜率為,直線的斜率為.綜上可得:直線的斜率之積為定值.

Ⅰ)設(shè)由題,

解得,則,橢圓的方程為.

Ⅱ)設(shè),當(dāng)直線的斜率不存在時,

設(shè),則,直線的方程為代入

可得 ,,則,

直線的斜率為,直線的斜率為

,

當(dāng)直線的斜率不存在時,同理可得.

當(dāng)直線、的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,

則由消去可得:

,則,代入上述方程可得:

,,

設(shè)直線的方程為,同理可得

直線的斜率為

直線的斜率為, .

所以,直線的斜率之積為定值,即.

【點(diǎn)睛】

(1)解答直線與橢圓的題目時,時常把兩個曲線的方程聯(lián)立,消去x(y)建立一元二次方程,然后借助根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.

(2)涉及到直線方程的設(shè)法時,務(wù)必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.

型】解答
結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+b)(-a),(b>0),在(-1,f(-1))處的切線方程為(e-1)x+ey+e-1=0.

(Ⅰ)求a,b;

(Ⅱ)若方程f(x)=m有兩個實(shí)數(shù)根x1,x2,且x1<x2,證明:x2-x1≤1+

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】海水稻就是耐鹽堿水稻,是一種介于野生稻和栽培稻之間的普遍生長在海邊灘涂地區(qū)的水稻,具有抗旱抗?jié)、抗病蟲害、抗倒伏抗鹽堿等特點(diǎn).近年來,我國的海水稻研究取得了階段性成果,目前已開展了全國大范圍試種.某農(nóng)業(yè)科學(xué)研究所分別抽取了試驗(yàn)田中的海水稻以及對照田中的普通水稻各株,測量了它們的根系深度(單位:),得到了如下的莖葉圖,其中兩豎線之間表示根系深度的十位數(shù),兩邊分別是海水稻和普通水稻根系深度的個位數(shù),則下列結(jié)論中不正確的是(

A.海水稻根系深度的中位數(shù)是

B.普通水稻根系深度的眾數(shù)是

C.海水稻根系深度的平均數(shù)大于普通水稻根系深度的平均數(shù)

D.普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線,當(dāng))時,該圖象是斜率為的線段,其中常數(shù),數(shù)列)定義.

1)若,求;

2)求的表達(dá)式及的解析式(不必求的定義域);

3)當(dāng)時,求的定義域,并證明的圖象與的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的公共點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是橢圓的一個頂點(diǎn),是等腰直角三角形.

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上一動點(diǎn),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程;

3)過點(diǎn)分別作直線,交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)兩直線的斜率分別為,,

,探究:直線是否過定點(diǎn),并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某專賣店銷售一新款服裝,日銷售量(單位為件)f(n) 與時間n1≤n≤30、nN*)的函數(shù)關(guān)系如下圖所示,其中函數(shù)f(n) 圖象中的點(diǎn)位于斜率為 5 和-3 的兩條直線上,兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且第m天日銷售量最大.

(Ⅰ)f(n) 的表達(dá)式,及前m天的銷售總數(shù);

(Ⅱ)按以往經(jīng)驗(yàn),當(dāng)該專賣店銷售某款服裝的總數(shù)超過 400 件時,市面上會流行該款服裝,而日銷售量連續(xù)下降并低于 30 件時,該款服裝將不再流行.試預(yù)測本款服裝在市面上流行的天數(shù)是否會超過 10 天?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓)的離心率為,短軸長為.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且線段的垂直平分線過定點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是,是橢圓外的動點(diǎn),滿足.點(diǎn)是線段與該橢圓的交點(diǎn),點(diǎn)在線段上,并且滿足,.

(1)當(dāng)時,用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表示

(2)求點(diǎn)的軌跡的方程;

(3)在點(diǎn)的軌跡上,是否存在點(diǎn),使的面積?若存在,求出的正切值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖一塊長方形區(qū)域,,在邊的中點(diǎn)處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈其照射角始終為,設(shè),探照燈照射在長方形內(nèi)部區(qū)域的面積為.

(1)當(dāng)時,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)時,求的最大值;

(3)若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個來回”(轉(zhuǎn)到,再回到,稱“一個來回”,忽略處所用的時間),且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定,設(shè)邊上有一點(diǎn),且,求點(diǎn)在“一個來回”中被照到的時間.

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