已知{an}為遞增的等比數(shù)列,且{a1,a3,a5}{-10,-6,-2,0,1,3,4,16}.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)是否存在等差數(shù)列{bn},使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n+1-n-2對(duì)一切n∈N*都成立?若存在,求出bn;若不存在,說明理由.

 

【答案】

(1) an=2n-1,         (2) bn=n,

【解析】(1)由等比數(shù)列遞增的性質(zhì)得其首項(xiàng)為1,公比為4,可得到通項(xiàng)公式;(2)先由數(shù)列的前兩項(xiàng)滿足等式,求出;再寫出,錯(cuò)位相減求出。即證出存在數(shù)列{bn},結(jié)論成立

(1)因?yàn)閧an}是遞增的等比數(shù)列,所以數(shù)列{an}的公比是正數(shù),

又{a1,a3,a5}{-10,-6,-2,0,1,3,4,16},所以a1=1,a3=4,a5=16,

從而q2=4,q=2,an=a1qn-1=2n-1,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1,

(2)假設(shè)存在滿足條件的等差數(shù)列{bn},其公差為d.則當(dāng)n=1時(shí),a1b1=1,

又∵a1=1,∴b1=1;

當(dāng)n=2時(shí),a1b2+a2b1=4,b2+2b1=4,b2=2.

則d=b2-b1=1,∴bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.

以下證明當(dāng)bn=n時(shí),a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2對(duì)一切n∈N*都成立.

設(shè)Sn=a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1,

即Sn=1×n+2×(n-1)+22×(n-2)+23×(n-3)+…+2n-2×2+2n-1×1,  ①

2Sn=2×n+22×(n-1)+23×(n-2)+…+2n-1×2+2n×1,              ②

②-①得Sn=-n+2+22+23+…+2n-1+2n=-n+=2n+1-n-2,

所以存在等差數(shù)列{bn},bn=n,使得a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2對(duì)一切n∈N*都成立.

 

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