已知{an}為遞增的等比數(shù)列,且{a1,a3,a5}?{-10,-6,-2,0,1,3,4,16}.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(II)是否存在等差數(shù)列{bn},使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n+1-n-2對一切n∈N*都成立?若存在,求出bn;若不存在,說明理由.
【答案】分析:(I)由{an}為遞增的等比數(shù)列,得到數(shù)列{an}的公比q>0,且a1>0,又{a1,a3,a5}?{-10,-6,-2,0,1,3,4,16},可得出a1,a3,a5三項,則公比可求,通項可求.
(II)先假設(shè)存在等差數(shù)列{bn},由所給式子求出b1,b2,公差可求,通項可求,證明當bn=n時,a1bn+a2bn-1++an-1b2+anb1=2n+1-n-2對一切n∈N*都成立,用錯位相減法求得此數(shù)列是適合的.
解答:解:(I)因為{an}是遞增的等比數(shù)列,所以數(shù)列{an}公比q>0,首項a1>0,
又{a1,a3,a5}?{-10,-6,-2,0,1,3,4,16},
所以a1=1,a3=4,as=16(3分)
從而,q=2,an=a1qn-1=2n-1
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1(6分)
(II)假設(shè)存在滿足條件的等整數(shù)列{bn},其公差為d,則當n=1時,a1b1=1,
又∵a1=1,∴b1=1;
當n=2時,a1b2+a2b1=4,b2+2b1=4,b2=2
則d=b2-b1=1,∴bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n(8分)
以下證明當bn=n時,a1bn+a2bn-1++an-1b2+anb1=2n+1-n-2對一切n∈N*都成立.
設(shè)Sn=a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1,
即Sn=1×n+2×(n-1)+22×(n-2)+23×(n-3)+…+2n-2×2+2n-1×1,(1)
2Sn=2×n+22×(n-1)+23×(n-2)+…+2n-1×2+2n×1,(2)
(2)-(1)得Sn=-n+2+22+23++2n-1+2n=
所以存在等差數(shù)列{bn},bn=n使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+anb1=2n+1-n-2對一切n∈N*都成立(12分)
點評:本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識,已知數(shù)列為等比數(shù)列,求通項公式,求首項和公比即可;用錯位相減法求數(shù)列的前n項和,用時要觀察項的特征,是否是等差數(shù)列的項與等比數(shù)列的項的乘積;考查推理論證能力、運算求解能力,考查特殊與一般思想.
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