已知{an}為遞增的等比數(shù)列,且{a1,a3,a5}?{-10,-6,-2,0,1,3,4,16}.
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)是否存在等差數(shù)列{bn},使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n+1-n-2對(duì)一切n∈N*都成立?若存在,求出bn;若不存在,說明理由.
分析:(I)由{an}為遞增的等比數(shù)列,得到數(shù)列{an}的公比q>0,且a1>0,又{a1,a3,a5}?{-10,-6,-2,0,1,3,4,16},可得出a1,a3,a5三項(xiàng),則公比可求,通項(xiàng)可求.
(II)先假設(shè)存在等差數(shù)列{bn},由所給式子求出b1,b2,公差可求,通項(xiàng)可求,證明當(dāng)bn=n時(shí),a1bn+a2bn-1++an-1b2+anb1=2n+1-n-2對(duì)一切n∈N*都成立,用錯(cuò)位相減法求得此數(shù)列是適合的.
解答:解:(I)因?yàn)閧an}是遞增的等比數(shù)列,所以數(shù)列{an}公比q>0,首項(xiàng)a1>0,
又{a1,a3,a5}?{-10,-6,-2,0,1,3,4,16},
所以a1=1,a3=4,as=16(3分)
從而q2=
a3
a1
=4
,q=2,an=a1qn-1=2n-1
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1(6分)
(II)假設(shè)存在滿足條件的等整數(shù)列{bn},其公差為d,則當(dāng)n=1時(shí),a1b1=1,
又∵a1=1,∴b1=1;
當(dāng)n=2時(shí),a1b2+a2b1=4,b2+2b1=4,b2=2
則d=b2-b1=1,∴bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n(8分)
以下證明當(dāng)bn=n時(shí),a1bn+a2bn-1++an-1b2+anb1=2n+1-n-2對(duì)一切n∈N*都成立.
設(shè)Sn=a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1,
即Sn=1×n+2×(n-1)+22×(n-2)+23×(n-3)+…+2n-2×2+2n-1×1,(1)
2Sn=2×n+22×(n-1)+23×(n-2)+…+2n-1×2+2n×1,(2)
(2)-(1)得Sn=-n+2+22+23++2n-1+2n=-n+
2(1-2n)
1-2
=2n+1-n-2

所以存在等差數(shù)列{bn},bn=n使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+anb1=2n+1-n-2對(duì)一切n∈N*都成立(12分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí),已知數(shù)列為等比數(shù)列,求通項(xiàng)公式,求首項(xiàng)和公比即可;用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,用時(shí)要觀察項(xiàng)的特征,是否是等差數(shù)列的項(xiàng)與等比數(shù)列的項(xiàng)的乘積;考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查特殊與一般思想.
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