Question

【題目】拋物線y2=2px（p＞0）與直線y=x+1相切，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1≠x2）是拋物線上兩個動點，F為拋物線的焦點，且|AF|+|BF|=8．
（1）求p的值；
（2）線段AB的垂直平分線l與x軸的交點是否為定點，若是，求出交點坐標，若不是，說明理由；
（3）求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為拋物線y2=2px（p＞0）與直線y=x+1相切，

所以由 得：y2﹣2py+2p=0（p＞0）有兩個相等實根．

即△=4p2﹣8p=4p（p﹣2）=0得：p=2為所求．

（2）解：拋物線y2=4x的準線x=1．且|AF|+|BF|=8，

所以由定義得x1+x2+2=8，則x1+x2=6．

設直線AB的垂直平分線l與x軸的交點C（m，0）．

由C在AB的垂直平分線上，從而|AC|=|BC|

即 ．

所以 ．

即（x1+x2﹣2m）（x1﹣x2）=4x2﹣4x1=﹣4（x1﹣x2）

因為x1≠x2，所以x1+x2﹣2m=﹣4．

又因為x1+x2=6，所以m=5，

所以點C的坐標為（5，0）．

即直線AB的垂直平分線l與x軸的交點為定點（5，0）．

（3）解：設直線l的斜率為k1，由（II）可設直線l方程為y=k1（x﹣5）．

設AB的中點M（x0，y0），由 ．可得M（3，y0）．

因為直線l過點M（3，y0），

所以y0=﹣2k1．

又因為點M（3，y0）在拋物線y2=4x的內部，

所以 ．

即 ，則 ．

因為x1≠x2，則k1≠0．

所以k1的取值范圍為 ．

【解析】（1）聯立切線和拋物線方程，由判別式等于0求解p的值；（2）由|AF|+|BF|=8，利用拋物線的定義轉化為x1+x2+2=8，從而求出A，B兩點橫坐標的和，設出C的坐標，利用C在AB的垂直平分線上得|AC|=|BC|，代入兩點間的距離公式后移向整理，代入兩橫坐標的和后可求m的值；（3）設出AB中點的坐標，寫出直線l的方程，把AB中點坐標代入l的方程后得到AB中點坐標與直線l的斜率k的關系，由AB中點在拋物線內部列式求得k的取值范圍．