Question

（本小題滿分13分）某市“環(huán)保提案”對某處的環(huán)境狀況進行了實地調研，據測定，該處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數為.現已知相距的，兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為正數,，它們連線上任意一點C處的污染指數等于兩化工廠對該處的污染指數之和.設.
(1) 試將表示為的函數；
(2) 若時,在處取得最小值，試求的值.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）設點C受A污染源污染指數為，
點C受B污染源污染指數為，
其中k為比例系數，且k＞0,
從而點C處污染指數.                         ……5分
（2） 因為，所以，，=，
令=0，得，
當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增.
∴當時，函數取得最小值，又此時，解得，
經驗證符合題意.
所以，污染源B的污染強度的值為.                            ……13分
點評：從實際問題中抽象數學模型時，一定不要忘記函數的實際定義域，利用導數研究函數的單調性時，要把單調性說清楚，必要時可以畫表格輔助說明.