試題分析:∵f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),
∴f'(x)≥0對x∈[-1,1]恒成立,
即x
2-ax-2≤0對x∈[-1,1]恒成立.①
設(shè)φ(x)=x
2-ax-2,
方法一:①?φ(1)=1-a-2≤0且φ(-1)=1+a-2≤0?-1≤a≤1,
∵對x∈[-1,1],f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時,f'(-1)=0以及當(dāng)a=-1時,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二:
①?
,φ(-1)=1+a-2≤0或
,φ(1)=1-a-2≤0?0≤a≤1或-1≤a≤0
?-1≤a≤1.
∵對x∈[-1,1],f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時,f'(-1)=0以及當(dāng)a=-1時,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
由
=
,得x
2-ax-2=0,∵△=a
2+8>0,∴x
1,x
2是方程x
2-ax-2=0的兩非零實根,x
1+x
2=a,x
1x
2=-2,從而|x
1-x
2|==
=
∵-1≤a≤1,∴|x
1-x
2|=
≤3.
要使不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
當(dāng)且僅當(dāng)m
2+tm+1≥3對任意t∈[-1,1]恒成立,
即m
2+tm-2≥0對任意t∈[-1,1]恒成立.②
設(shè)g(t)=m
2+tm-2=mt+(m
2-2),
方法一:
②?g(-1)=m
2-m-2≥0,g(1)=m
2+m-2≥0,
?m≥2或m≤-2.
所以,存在實數(shù)m,使不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.
方法二:
當(dāng)m=0時,②顯然不成立;
當(dāng)m≠0時,
②?m>0,g(-1)=m
2-m-2≥0或m<0,g(1)=m
2+m-2≥0
?m≥2或m≤-2.
所以,存在實數(shù)m,使不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.
點評:解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系寫出不等式先看成關(guān)于a的不等式恒成立再看成關(guān)于t的一次不等式恒成立,讓兩端點大等于零,以及函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)數(shù)大于等于零列出不等式解之