Question

【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，如果存在實(shí)數(shù)， 使得對任意滿足且的恒成立，則稱為廣義奇函數(shù).

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，試判斷是否為廣義奇函數(shù)，并說明理由；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù) ，證明是廣義奇函數(shù)，并寫出的值；

（Ⅲ）若是定義在上的廣義奇函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線（為常數(shù)）對稱，試判斷是否為周期函數(shù)？若是，求出的一個周期，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）是廣義奇函數(shù)（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 是廣義奇函數(shù).理由如下：滿足題意時只需證明存在實(shí)數(shù)， 使得對任意恒成立.轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,據(jù)此可得存在，使得是廣義奇函數(shù).

(Ⅱ)由題意結(jié)合廣義奇函數(shù)的定義可得， 時， 是廣義奇函數(shù).則，據(jù)此可得原式.

(Ⅲ)由題意可得， 恒成立.則：

. .故恒成立.把用代換得據(jù)此可得分類討論有：當(dāng)時， 是函數(shù)的一個周期.當(dāng)時， 對恒成立.

則題中的結(jié)論成立.

試題解析：

（Ⅰ）是廣義奇函數(shù). 理由如下：

的定義域?yàn)?/span>，

只需證明存在實(shí)數(shù)， 使得對任意恒成立.

由，得，

即.

所以對任意恒成立,

即

從而存在，使對任意恒成立.

所以是廣義奇函數(shù).

（Ⅱ）記的定義域?yàn)?/span>，只需證明存在實(shí)數(shù)， 使得當(dāng)且時，

恒成立，即恒成立.

所以，

化簡得， .

所以, .因?yàn)?/span>，可得， ,

即存在實(shí)數(shù)， 滿足條件，從而是廣義奇函數(shù).

由以上證明可知， 是廣義奇函數(shù)，對，有 ，即 ，故

（Ⅲ）因?yàn)?/span>是定義在上的廣義奇函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，

所以有， 恒成立.

由得.

由得.

所以①恒成立. 把用代換得

，

即②

由①②得：

當(dāng)時， 為周期函數(shù)， 是函數(shù)的一個周期.

當(dāng)時，由①得，從而對恒成立.

函數(shù)為常函數(shù)，也為周期函數(shù)，

任何非零實(shí)數(shù)均為函數(shù)的周期.