Question

【題目】已知，函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（Ⅱ）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 解集為;(2) 或;(3) 的取值范圍是.

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)題意將不等式化為指數(shù)不等式求解．（2）由題意可得方程只有一個(gè)解，即只有一解，令，則上只有一解，分離參數(shù)后并結(jié)合圖象求解即可．（3）先征得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，從而可得在區(qū)間上的最大值、最小值，由題意得恒成立，整理得恒成立．令，可得恒成立，求得函數(shù)在上的最大值后解不等式可得的范圍．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ，

∴，

整理得，解得．

∴原不等式的解集為.

（2）方程，

即為，

∴，

∴，

令，則，

由題意得方程在上只有一解，

令, ,

結(jié)合圖象可得，當(dāng)或時(shí)，直線的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程只有一個(gè)解．

∴實(shí)數(shù)的范圍為.

（3）∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，

∴

由題意得，

∴恒成立，

令，

∴恒成立，

∵在上單調(diào)遞增，

∴

∴，

解得，

又，

∴．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.