Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）討論函數(shù)的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可得，即可得，注意檢驗；

（2）由條件可得，在區(qū)間上恒成立，運用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的范圍，即可得到的范圍；

（3）令，則，求出導數(shù)，結(jié)合圖象對討論，即可判斷零點個數(shù).

（1）因為函數(shù)在處取得極值，，

所以，即，解得，

經(jīng)檢驗，當時，函數(shù)在處取得極小值．所以實數(shù)的值為．

（2）由（1）知，，．

因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立．

即在區(qū)間上恒成立．

易得當時，，所以．

故實數(shù)的取值范圍為．

（3）因為，所以，．

令得，

令，，

則．

當時，，在上單調(diào)遞增；

當時，，在上單調(diào)遞減．

畫出函數(shù)的草圖，

易得，

并且圖象無限靠近于原點，且當時，，

故當時，函數(shù)無零點；當或時，函數(shù)有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點．