Question

【題目】橢圓： 的左右焦點(diǎn)分別為， ，左右頂點(diǎn)分別為， ， 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與， 重合），且直線與的斜率的乘積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過作兩條互相垂直的直線與（均不與軸重合）分別與橢圓交于， ， ， 四點(diǎn)，線段、的中點(diǎn)分別為、，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析， 經(jīng)過定點(diǎn)為

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，列出方程，求解的值，即可求得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線： ，聯(lián)立橢圓方程，求得的坐標(biāo)，

由題設(shè)若直線關(guān)于軸對(duì)稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對(duì)稱，得該定點(diǎn)一定是直線與的交點(diǎn)，進(jìn)而求得直線過定點(diǎn)．

試題解析：

（1）設(shè)，由題，整理得，

，整理得，

結(jié)合，得， ，

所求橢圓方程為．

（2）設(shè)直線： ，聯(lián)立橢圓方程，得，

得， ，

∴， ，

由題，若直線關(guān)于軸對(duì)稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對(duì)稱，所以若直線經(jīng)過定點(diǎn)，該定點(diǎn)一定是直線與的交點(diǎn)，該點(diǎn)必在軸上．

設(shè)該點(diǎn)為， ， ，

由，得，代入， 坐標(biāo)化簡(jiǎn)得，

經(jīng)過定點(diǎn)為．