【題目】設(shè)橢圓C: + =1(a>b>0),定義橢圓的“伴隨圓”方程為x2+y2=a2+b2;若拋物線x2=4y的焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)短軸重合,且橢圓C的離心率為
(1)求橢圓C的方程和“伴隨圓”E的方程;
(2)過“伴隨圓”E上任意一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PA,PB,A,B為切點(diǎn),延長PA與“伴隨圓”E交于點(diǎn)Q,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
①證明:PA⊥PB;
②若直線OP,OQ的斜率存在,設(shè)其分別為k1 , k2 , 試判斷k1k2是否為定值,若是,求出該值;若不是,請說明理由.

【答案】
(1)解:由拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為(0,1)與橢圓C的一個(gè)短軸端點(diǎn)重合,

∴b=1,

由橢圓C的離心率e= = = ,則a2=3,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ,x2+y2=4


(2)解:①證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),過點(diǎn)P過橢圓C的切線斜率存在且不為零,

設(shè)方程為y=kx+m,(k≠0),

由直線y=kx+m,過P(x1,y1),則m=y1﹣kx1,且x12+y12=4,

,消去y得:(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣3=0,

△=36k2m2﹣4(3k2+1)(3m2﹣3)=0,整理得:m2=3k2+1,

將m=y1﹣kx1,代入上式關(guān)于k的方程(x12﹣3)k2﹣2x1y1k+y12﹣1=0,(x12﹣3≠0),

則kPAkPB= =﹣1,(x12+y12=4),

當(dāng)切線的斜率不存在或等于零結(jié)論顯然成立,

∴PA⊥PB,

②當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),

由①可知直線PQ的方程為y=kx+m,

,整理得:(k2+1)x2+2kmx+m2﹣4=0,

則△=4k2m2﹣4(k2+1)(m2﹣4),將m2=3k2+1,代入整理△=4k2+12>0,

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

∴k1k2= = =

= ,

將m2=3k2+1,即可求得求得k1k2=﹣ ,

當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí),易證k1k2=﹣ ,

∴綜上可知:k1k2=﹣


【解析】(1)由拋物線的方程,求得b的值,利用離心率公式,即可求得a的值,求得橢圓方程;(2)①設(shè)直線y=kx+m,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式,即可求得kPAkPB=﹣1,即可證明PA⊥PB;②將直線方程代入圓方程,利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式求得k1k2= ,代入即可求得k1k2=﹣

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C.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列
D.若數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差相等的等差數(shù)列,則{an}是等差數(shù)列

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