【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)當(dāng)時,寫出與的大小關(guān)系.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析;(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)先利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率,然后再求得切點坐標(biāo),最后寫出切線方程即可;
(Ⅱ)對a進行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,當(dāng)時,函數(shù)不存在最小值;當(dāng)時,函數(shù)有最小值.
(Ⅲ)當(dāng)時,與的大小關(guān)系等價于與的大小關(guān)系,
令,通過研究的單調(diào)性和極值,進而可得,從而可得結(jié)果.
(Ⅰ)當(dāng)時,,,
所以,,因此,
又因為,所以切點為,
所以切線方程為;
(Ⅱ),,,
所以,
因為,所以;
(1)當(dāng),即時,
因為,所以,故,
此時函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)不存在最小值;
(2)當(dāng),即時,
令,因為,所以,
與在上的變化情況如下:
0 | + | ||
↘ | 極小值 | ↗ |
所以當(dāng)時,有極小值,也是最小值,
并且,
綜上所述,
當(dāng)時,函數(shù)不存在最小值;
當(dāng)時,函數(shù)有最小值.
(Ⅲ)當(dāng)時,與的大小關(guān)系等價于與的大小關(guān)系,
下面比較與的大小關(guān)系:
令,則,
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,
故,即,故,所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)當(dāng)時,若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若存在,且當(dāng)時,,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出以下四個命題:
①設(shè)是空間中的三條直線,若,,則.
②在面積為的的邊上任取一點,則的面積大于的概率為.
③已知一個回歸直線方程為,則.
④數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為的一次函數(shù).
其中正確命題的充號為________.(把所有正確命題的序號都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.且
.
(1)若,求角C的大小.
(2)若AC邊上的中線BM的長為2,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于和兩點.
(1)當(dāng)時,求直線的方程;
(2)若過點且垂直于直線的直線與拋物線交于、兩點,記與的面積分別為與,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為.以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))
(1)若,求曲線C的直角坐標(biāo)方程以及直線l的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點,曲線C與直線 交于A、B兩點,求的最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場以來,生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量,決定邀請第三方檢測機構(gòu)對產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測,并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)Z來衡量產(chǎn)品的質(zhì)量.當(dāng)時,產(chǎn)品為優(yōu)等品;當(dāng)時,產(chǎn)品為一等品;當(dāng)時,產(chǎn)品為二等品.第三方檢測機構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機抽取500件,繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的條形圖.用隨機抽取的500件產(chǎn)品作為樣本,估計該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況,并用頻率估計概率.
(1)從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機抽取4件,求至少有1件優(yōu)等品的概率;
(2)現(xiàn)某人決定購買80件該產(chǎn)品.已知每件成本1000元,購買前,邀請第三方檢測機構(gòu)對要購買的80件產(chǎn)品進行抽樣檢測,買家、企業(yè)及第三方檢測機構(gòu)就檢測方案達成以下協(xié)議:從80件產(chǎn)品中隨機抽出4件產(chǎn)品進行檢測,若檢測出3件或4件為優(yōu)等品,則按每件1600元購買,否則按每件1500元購買,每件產(chǎn)品的檢測費用250元由企業(yè)承擔(dān).記企業(yè)的收益為X元,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=
(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則f(e)=________,函數(shù)y=f(f(x))-1的零點個數(shù)為________.
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