【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)當(dāng)時,若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若存在,且當(dāng)時,,證明:.
【答案】(1)當(dāng)時,單調(diào)遞增區(qū)間為,無極值;當(dāng)時,單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;極小值為,無極大值;(2);(3)詳見解析.
【解析】
(1)求出,分類討論的取值,根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號可得單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)令,求解導(dǎo)數(shù),分別討論時和時兩種情況,結(jié)合函數(shù)最值,可得實數(shù)的取值范圍;
(3)先令,根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,把條件轉(zhuǎn)化為,然后構(gòu)造函數(shù),證明,進而可證.
(1),定義域,,
(i)當(dāng)時,,在單調(diào)遞增,無極值;
(ii)當(dāng)時,令,解得,∴的單調(diào)遞增區(qū)間為;
令,解得,∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.
此時有極小值,無極大值.
(2)令,,
則.
(i)時,,在上單調(diào)遞減,
∴,
∴恒成立,滿足題意.
(ii)時,令,,
∴在上單調(diào)遞減,
∴,
其中,且在上單調(diào)遞減,
∴根據(jù)零點存在性定理,使得,
即,;,
∴,,在上單調(diào)遞增,
又∵,
∴,,不滿足題意,舍掉;
綜上可得.
(3)不妨設(shè),則.
∵,∴,
令,,∴在上單增,
∴,從而;
∴,
即;
下面證明,令,則,
即證明,只要證明,
設(shè),∴在上恒成立,
∴在單調(diào)遞減,故.
∴,即.
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【題目】給定橢圓,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個焦點為,其短軸上的一個端點到的距離為.
(1)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(2)點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動點,過點作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點.
①當(dāng)點為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點時,求直線的方程并證明;
②求證:線段的長為定值.
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【題目】已知某企業(yè)近3年的前7個月的月利潤(單位:百萬元)如下面的折線圖所示:
(1)試問這3年的前7個月中哪個月的月平均利潤最高?
(2)通過計算判斷這3年的前7個月的總利潤的發(fā)展趨勢;
(3)試以第3年的前4個月的數(shù)據(jù)(如下表),用線性回歸的擬合模式估測第3年8月份的利潤.
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
利潤y(單位:百萬元) | 4 | 4 | 6 | 6 |
相關(guān)公式: , .
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【題目】已知橢圓C:的離心率為,與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點,且經(jīng)過點Q(,1).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若P(m,n)為橢圓C外一動點,過點P作橢圓C的兩條互相垂直的切線l1、l2,求動點P的軌跡方程,并求△ABP面積的最大值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,點,()在曲線C:上,直線l過點且與垂直,垂足為P.
(Ⅰ)當(dāng)時,求在直角坐標(biāo)系下點P坐標(biāo)和l的方程;
(Ⅱ)當(dāng)M在C上運動且P在線段上時,求點P在極坐標(biāo)系下的軌跡方程.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,BC//A,為正三角形,M為PD中點.
(1)證明:CM//平面PAB;
(2)若二面角P-AB-C的余弦值為,求直線AD與平面PBD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸長為,右頂點到左焦點的距離為,、分別為橢圓的左、右兩個焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知橢圓的切線(與橢圓有唯一交點)的方程為,切線與直線和直線分別交于點、,求證:為定值,并求此定值;
(3)設(shè)矩形的四條邊所在直線都和橢圓相切(即每條邊所在直線與橢圓有唯一交點),求矩形的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,且過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與拋物線相交于兩點,與橢圓相交于兩點,(為坐標(biāo)原點),為拋物線的焦點,求面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)當(dāng)時,寫出與的大小關(guān)系.
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