設(shè)數(shù)列的前項和為,已知(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)求證:當(dāng)x>0時,
(Ⅲ)令,數(shù)列的前項和為.利用(2)的結(jié)論證明:當(dāng)n∈N*且n≥2時,.
(Ⅰ);(Ⅱ)參考解析;(Ⅲ)參考解析
解析試題分析:(Ⅰ)由數(shù)列的求和與通項的等式,遞推一個等式兩式相減可得到一個的,的一個一節(jié)遞推式().將等式的兩邊同除以,即可得到是一個等差數(shù)列,再通過求出的通項,即可得到的通項式.最后檢驗一下n=1時即可.
(Ⅱ)不等式的證明通過轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的值在大于零恒成立即可.通過求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)恒大于零.所以原函數(shù)在上遞增.函數(shù)的最小值是大于零.
(Ⅲ)由(Ⅰ)得到的數(shù)列可得的通項.由于通項中存在的形式.所以奇偶項的符號不一樣.通過整理轉(zhuǎn)化為.結(jié)合(Ⅱ)得到的結(jié)論令.可得.這樣就把分?jǐn)?shù)和的形式改為對數(shù)的和的形式即可.
試題解析:(1)由,得() 2分
兩式相減,得,即()
于是,所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 .. .3分
又,所以.
所以,故. .5分
(2)令,則,7分
∴在時單調(diào)遞增,,即當(dāng)時, .9分
(3)因為,則當(dāng)n≥2時,
. 11分
下面證
令,由(2)可得,所以
,, ,
以上個式相加,即有
∴ 14分
考點(diǎn):1.數(shù)列的通項.構(gòu)造求通項的思想.3.函數(shù)的求導(dǎo)及單調(diào)性.4.數(shù)列、函數(shù)不等式的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù),曲線通過點(diǎn)(0,2a+3),且在處的切線垂直于y軸.
(I)用a分別表示b和c;
(II)當(dāng)bc取得最大值時,寫出的解析式;
(III)在(II)的條件下,g(x)滿足,求g(x)的最大值及相應(yīng)x值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(Ⅰ)時,求在處的切線方程;
(Ⅱ)若對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)時,設(shè)函數(shù),若,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某連鎖分店銷售某種商品,每件商品的成本為元,并且每件商品需向總店交元的管理費(fèi),預(yù)計當(dāng)每件商品的售價為元時,一年的銷售量為萬件.
(1)求該連鎖分店一年的利潤(萬元)與每件商品的售價的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每件商品的售價為多少元時,該連鎖分店一年的利潤最大,并求出的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知a為給定的正實數(shù),m為實數(shù),函數(shù)f(x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1.
(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上無極值點(diǎn),求m的值;
(Ⅱ)若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是.
(I)求函數(shù)的解析式;
(II)設(shè)函數(shù),若的極值存在,求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù) .
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間其中上存在極值,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)如果當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù) (為實常數(shù)) .
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值;
(2)當(dāng)時,討論方程根的個數(shù).
(3)若,且對任意的,都有,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax4lnx+bx4﹣c(x>0)在x=1處取得極值﹣3﹣c,其中a,b,c為常數(shù).
(1)試確定a,b的值;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對任意x>0,不等式f(x)≥﹣2c2恒成立,求c的取值范圍.
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