Question

設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)，時，求函數(shù)的最大值；
（2）令，其圖象上存在一點，使此處切線的斜率，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)，，時，方程有唯一實數(shù)解，求的值.

Answer 1

（1）函數(shù)的最大值為；（2）實數(shù)的取值范圍是；（3）.

解析試題分析：（1）將，代入函數(shù)的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值；（2）先確定函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為，利用恒成立的思想進行求解；（3）將，代入函數(shù)的解析式并確定函數(shù)的解析式，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，利用極值為零來求出參數(shù)的值.
試題解析：（1）依題意，的定義域為，
當(dāng)，時，，，
由 ，得，解得；
由 ，得，解得或.
，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
所以的極大值為，此即為最大值；
（2），，則有在上有解，
∴，
，
所以當(dāng)時，取得最小值，；
（3）因為方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，
設(shè)，則，
，，所以由得，
由得，所以在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，.
若有唯一實數(shù)解，則必有
，
所以當(dāng)時，方程有唯一實數(shù)解.
考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；2.函數(shù)不等式恒成立；3.參數(shù)分離法；4.函數(shù)的零點