Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為S_n，并且對(duì)于所有的自然數(shù)n，存在正數(shù)t，使a_n與t的等差中項(xiàng)等于S_n與t的等比中項(xiàng)．
（1）求 {a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若n=3時(shí)，S_n-2t•a_n取得最小值，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n與t的等差中項(xiàng)等于S_n與t的等比中項(xiàng)建立等式關(guān)系，然后根據(jù)遞推關(guān)系可得{a_n}是以t為首項(xiàng)，2t為公差的等差數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式；
（2）求出S_n，根據(jù)n=3時(shí)，S_n-2t•a_n取得最小值可設(shè)f（x）=tx²-4t²x+2t²，當(dāng)x取3 時(shí)有最大值，可得對(duì)稱(chēng)軸的范圍，從而求出t的取值范圍．

解答：解：（1）由題意：

t+an

2

=

tSn

即2

tSn

=t+an
當(dāng)n=1時(shí)，2

ta1

=t+a1=t+a1，∴(

a1

-

t

)2=0，a1=t…..（3分）
當(dāng)n≥2時(shí)，2

tSn

=t+an∴4tSn=t2+2tan+an2①4tS_n-1=t²+2ta_n-1+a_n-1²②
①-②得4ta_n=2ta_n-2ta_n-1+（a_n²-a_n-1²）2t（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=2t∴{a_n}是以t為首項(xiàng)，2t為公差的等差數(shù)列，a_n=（2n-1）t…．（8分）
（2）∴S_n=tn²，an+t=2

tSn

=2nt，∴a_n=（2n-1）tS_n-2t•a_n=tn²-（2n-1）•2t²=tn²-4t²n+2t²，
設(shè)f（x）=tx²-4t²x+2t²，∵當(dāng)x取3 時(shí)有最大值，對(duì)稱(chēng)軸

4t2

2t

=2t∈[

5

2

，

7

2

]∴t∈[

5

4

，

7

4

]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及函數(shù)特性，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．