Question

設(shè){a_n } 是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，，所有的正整數(shù)n，滿足

an+2

2

=

2S n

（1）求a₁、a₂、a₃；    
（2）猜想數(shù)列{a_n }的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）直接利用已知的關(guān)系式，通過n=1，2，3，分別求a₁、a₂、a₃；    
（2）通過（1）猜想數(shù)列{a_n }的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（1）由

a1+2

2

=

2S1

，S1=a1，解得a1=2
再由

a2+2

2

=

2S2

，a2＞0，即(

a2+2

2

)2=2(2+a2)，解得a₂=6；
同樣由

a3+2

2

=

2S3

，a3＞0，即(

a3+2

2

)2=2S3，(

a3+2

2

)2=2(2+6+a3)，
可得a₃=10．
（2）猜想a_n=4n-2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
1° 當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立；
2°假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=4k-2.由

ak+2

2

=

2Sk

，解得Sk=2k2，

又由 ak+1+2 2 = 2Sk+1 ，得 ak+1+2 2 = 2(Sk+ak+1) ，從而 ak+1+2 2 = 2(2k2+ak+1) ，ak+1＞0，解得ak+1=4k+2=4(k+1)-2，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，-根據(jù)1°、2°對(duì)于一切正整數(shù)n都有a_n=4n-2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明猜想證明方法，數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，證明中用上假設(shè)是證明的關(guān)鍵．