Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)于所有的正整數(shù)n，有4S_n=（a_n+1）²．
（I）求a₁，a₂的值；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）令b₁=1，b_2k=a_2k-1+（-1）^k，b_2k+1=a_2k+3^k（k=1，2，3，…），求{b_n}的前20項(xiàng)和T₂₀．

Answer 1

分析：（I）求a₁，a₂的值，對(duì)n賦值即可算得；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，需對(duì)題目中條件4S_n=（a_n+1）²，對(duì)任意非負(fù)正整數(shù)恒成立進(jìn)行理解，并依據(jù)其形式來(lái)構(gòu)造出4S_n-1=（a_n-1+1）²，作差整理出a_n-a_n-1=2判斷出數(shù)列是等差數(shù)列來(lái)．
（III）的求解應(yīng)根據(jù)題設(shè)中的條件將前20項(xiàng)的和T₂₀．表示出來(lái)，然后再根據(jù)具體的形式來(lái)求解．

解答：解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，4a₁=（a₁+1）²
∴（a₁-1）²=0，a₁=1
當(dāng)n=2時(shí)，4（a₁+a₂）=（a₂+1）²，
∴a₂=3．（3分）
（II）∵4S_n=（a_n+1）²，4S_n-1=（a_n-1+1）²，相減得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列
∴a_n-a_n-1=2，∴a_n=2n-1．（8分）
（Ⅲ）T₂₀=b₁+[a₁+（-1）¹]+（a₂+3¹）+[a₃+（-1）²]+（a₄+3²）+…+[a₁₉+（-1）¹⁰]
=1+S₁₉+（3+3²+…+3⁹）=1+192+

3(1-39)

1-3

=

310+721

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)層層推進(jìn)式的題，其中第II問(wèn)構(gòu)造出另一個(gè)恒等式是難點(diǎn)，III的求解需根據(jù)具體形式來(lái)分組分別求解．