Question

【題目】已知F2、F1是雙曲線 （a＞0，b＞0）的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）
A.3
B.
C.2
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意，F(xiàn)1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c），
一條漸近線方程為y= x，則F2到漸近線的距離為 =b．
設(shè)F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，F(xiàn)2M與漸近線交于A，
∴|MF2|=2b，A為F2M的中點(diǎn)，
又0是F1F2的中點(diǎn)，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2為直角，
∴△MF1F2為直角三角形，
∴由勾股定理得4c2=c2+4b2
∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2 ，
∴c=2a，∴e=2．
故選C．
首先求出F2到漸近線的距離，利用F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，可得直角三角形MF1F2 ， 運(yùn)用勾股定理，即可求出雙曲線的離心率．