Question

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)求橢圓E的方程；

(2)在橢圓E上是否存點Q，使得？若存在，有幾個（不必求出Q點的坐標），若不存在，請說明理由．

（3）過橢圓E上異于其頂點的任一點P，作的兩條切線，切點分別為M、N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：為定值．

 

Answer 1

（1）；（2）滿足條件的點Q存在，且有兩個.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其性質(zhì)，考查學生的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，先由長軸長得到a的值，設出橢圓的標準方程，利用已知條件數(shù)形結(jié)合得到C點坐標，將C點坐標代入到橢圓中，得到b的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，先設出Q點坐標，利用已知等式計算，可知點Q在直線上，點在直線上，而在橢圓內(nèi)部，數(shù)形結(jié)合得存在點Q而且存在2個；法二：用和橢圓方程聯(lián)立消參，得到關(guān)于x的方程，看方程的判別式，判別式大于0時，方程有2個根，則直線與橢圓有2個交點；第三問，設出點P的坐標，由切線的性質(zhì)得四點共圓，此圓的圓心為，直徑為OP，得到此圓的方程，M、N既在此圓上，又在圓O上，2個方程聯(lián)立，解出直線MN的方程，得出截距的值，再轉(zhuǎn)化出P點坐標代入到橢圓中即可；法二：設出點P、M、N的坐標，利用直線的垂直關(guān)系，利用斜率列出等式，轉(zhuǎn)化成直線PM和直線PN的方程，從而得到直線MN的方程.

試題解析：(1)依題意知：橢圓的長半軸長，則A(2，0)，

設橢圓E的方程為 2分

由橢圓的對稱性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|

∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC為等腰直角三角形，

∴點C的坐標為(1，1)，點B的坐標為(－1，－1)， 4分

將C的坐標(1，1)代入橢圓方程得

∴所求的橢圓E的方程為 5分

（2）解法一：設在橢圓E上存在點Q，使得，設，則

即點Q在直線上， 7分

∴點Q即直線與橢圓E的交點，

∵直線過點，而點橢圓在橢圓E的內(nèi)部，

∴滿足條件的點Q存在，且有兩個． 9分

解法二：設在橢圓E上存在點Q，使得，設，則

即， ① -7分

又∵點Q在橢圓E上，∴， ②

由①式得代入②式并整理得：， -③

∵方程③的根判別式，

∴方程③有兩個不相等的實數(shù)根，即滿足條件的點Q存在，且有兩個． 9分

（3）解法一：

設點，由M、N是的切點知，,

∴O、M、P、N四點在同一圓上， 10分

且圓的直徑為OP,則圓心為，

其方程為， 11分

即 -④

即點M、N滿足方程④，又點M、N都在上，

∴M、N坐標也滿足方程 -⑤

⑤-④得直線MN的方程為， 12分

令得，令得， 13分

∴，又點P在橢圓E上，

∴，即=定值. 14分

解法二：設點則 10分

直線PM的方程為化簡得 ④

同理可得直線PN的方程為 -⑤ 11分

把P點的坐標代入④、⑤得

∴直線MN的方程為， 12分

令得，令得， 13分

∴，又點P在橢圓E上，

∴，即=定值． -14分

考點：1.橢圓的標準方程；2.四點共圓；3.圓的標準方程.