【題目】如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．

（1）求證：AO⊥平面BCD；

（2）求二面角O﹣AC﹣D的余弦值．

【答案】（1）證明略（2）

【解析】

（1）由題意，求得，利用勾股定理證得，利用線面垂直的判定定理，即可得到平面.

（2）由（1）知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）因?yàn)樗拿骟wABCD中，O是BD的中點(diǎn)，所以CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=,

所以，

所以，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）由（1）知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則,

∴，

設(shè)平面的法向量為，

則，取，則，

又由平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角，

則，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在處有一港口，兩艘海輪同時(shí)從港口處出發(fā)向正北方向勻速航行，海輪的航行速度為20海里/小時(shí)，海輪的航行速度大于海輪．在港口北偏東60°方向上的處有一觀測(cè)站，1小時(shí)后在處測(cè)得與海輪的距離為30海里，且處對(duì)兩艘海輪，的視角為30°．

（1）求觀測(cè)站到港口的距離；

（2）求海輪的航行速度．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，側(cè)面是正方形， 側(cè)面， ，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證： //平面；

（2）若，垂足為，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)為弘揚(yáng)優(yōu)良傳統(tǒng)，展示80年來的辦學(xué)成果，特舉辦“建校80周年教育成果展示月”活動(dòng)。現(xiàn)在需要招募活動(dòng)開幕式的志愿者，在眾多候選人中選取100名志愿者，為了在志愿者中選拔出節(jié)目主持人，現(xiàn)按身高分組，得到的頻率分布表如圖所示.

（1）請(qǐng)補(bǔ)充頻率分布表中空白位置相應(yīng)數(shù)據(jù)，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖；

（2）為選拔出主持人，決定在第3、4、5組中用分層抽樣抽取6人上臺(tái)，求第3、4、5組每組各抽取多少人？

（3）在（2）的前提下，主持人會(huì)在上臺(tái)的6人中隨機(jī)抽取2人表演詩歌朗誦，求第3組至少有一人被抽取的概率？

參考公式：

.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為提高產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部門經(jīng)常不定期地抽查產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)在某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)的對(duì)比，并對(duì)每個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行綜合評(píng)分（滿分100分），將每個(gè)產(chǎn)品所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.

（1）求圖中的值；

（2）求綜合評(píng)分的中位數(shù)；

（3）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，按分層抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個(gè)產(chǎn)品，再從這5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個(gè)產(chǎn)品中至多有一個(gè)一等品的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓: 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且過點(diǎn).過點(diǎn)的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)， 為橢圓的左頂點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓 的離心率為，兩條準(zhǔn)線之間的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且的面積是的面積的倍，求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】潮州統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入調(diào)查了人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分

布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在）。

（1）求居民月收入在的頻率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這人中分層抽樣方法抽出人作進(jìn)一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1， ，其中n∈N*．

（1）設(shè)，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式．

（2）設(shè)，數(shù)列{cncn+2}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說明．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案