Question

若關(guān)于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在區(qū)間[0，π]上有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

Answer 1

{a|＜a≤1，或 a=}
分析：設(shè)t=sinx，則t∈[0，1]，由題意可得，關(guān)于t的方程 2t²-4at+1-a=0在（0，1）上有唯一解，或t=0，故有①
f（0）f（1）＜0，或②若 ，或③t=0，分別求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，再取并集，即得所求．
解答：于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0 即 2sin²x-4asinx+1-a=0．
由于x∈[0，π]，故 sinx∈[0，1]，設(shè)t=sinx，則t∈[0，1]，2t²-4at+1-a=0．
由于（0，1）內(nèi)的一個(gè)t值對(duì)應(yīng)了（0，π）內(nèi)的2個(gè)x值，
則由題意可得，關(guān)于t的方程f（t）=2t²-4at+1-a=0在（0，1）上有唯一解，或t=0．
①若f（0）f（1）=（1-a）（3-5a）＜0，解得 ＜a＜1．
②若 ，則解得a=．
③若t=0，則由 2t²-4at+1-a=0可得 a=1．
綜上，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|＜a≤1，或 a=}，
故答案為 {a|＜a≤1，或 a=，}．
點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．