Question

已知奇函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定義域為R，其圖象C關于直線x=

π

4

對稱，又f（x）在區(qū)間[0，

π

6

]上是單調(diào)函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）將圖象C向右平移

π

4

個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
①化簡，并求值：

1+f(20°)+g(20°)

1+f(20°)-g(20°)

+4f（10°）；
②若關于x的方程f（x）=g（x）+m在區(qū)間[0，

π

6

]上有唯一實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合φ的范圍，求出φ，利用函數(shù)的對稱軸，求出ω，即可求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）將圖象C向右平移

π

4

個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象即可得到表達式，
①推出

1+f(20°)+g(20°)

1+f(20°)-g(20°)

+4f（10°），利用二倍角公式，化簡整理可求結(jié)果；
②通過方程f（x）=g（x）+m，表示出m，通過函數(shù)的單調(diào)性，以及在區(qū)間[0，

π

6

]上有唯一實根，求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=cos（ωx+φ）是R上的奇函數(shù)，得f（0）=cosφ=0．
又-π≤φ≤0，所以φ=-

π

2

．…（1分）
所以f（x）=cos（ωx-

π

2

）=sinωx．…（2分）
由y=f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱，且ω＞0，得
ω•

π

4

=kπ+

π

2

（k∈N），解得ω=4k+2（k∈N）．①…（3分）
又f（x）在區(qū)間[0，

π

6

]上是單調(diào)函數(shù)，所以0≤ω•x≤ω•

π

6

≤

π

2

，
解得ω≤3．②…（4分）
由①②，得ω=2．所以f（x）=sin2x．…（5分）
（2）g（x）=f（x-

π

4

）=sin（2x-

π

2

）=-cos2x．…（6分）
①原式=

1+sin40°-cos40°

1+sin40°+cos40°

+4sin20°
=

2sin20°(sin20°+cos20°)

2cos20°(sin20°+cos20°)

+4sin20°
=

sin20°

cos20°

+4sin20° …（7分）
=

sin20°

cos20°

+4sin20°•

cos20°

cos20°

=

sin20°+2sin40°

cos20°

 …（8分）
=

sin20°+2sin(60°-20°)

cos20°

 …（9分）
=

sin20°+ 3 cos20°-sin20°

cos20°

=

3

．…（10分）
②m=f（x）-g（x）=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）．…（11分）
易知函數(shù)y=

2

sin（2x+

π

4

）在區(qū)間[0，

π

8

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

π

8

，

π

6

]上單調(diào)遞減．…（12分）
又當x=0時，f（x）-g（x）=1；       
 當x=

π

8

時，f（x）-g（x）=

2

；
當x=

π

6

時，f（x）-g（x）=

3 +1

2

．…（13分）
故所求實數(shù)m的取值范圍是m=

2

或1≤m＜

3 +1

2

．…（14分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的單調(diào)性，對稱性的應用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．