Question

【題目】如圖，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．

（1）求證：BC⊥AB1；
（2）若AB=2，AB1= ，求二面角C﹣AB1﹣C1（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形BB1C1C是菱形，∠CBB1=60°，

∴△BB1C是等邊三角形，

取BC的中點(diǎn)為O，連結(jié)OA，OB，則BC⊥OB1，

又∵△ABC是等邊三角形，∴BC⊥OA，

∵OA∩OB1，∴BC⊥平面AOB1，

∵AB1平面AOB1，∴BC⊥AB1．

（2）解：∵△ABC和△BB1C是全等的等邊三角形，AB=2，

∴OA=OB1= ，

又∵AB1= ，∴ ，∴OB1⊥OA，

又∵OB1⊥BC，∴OB1⊥平面ABC，

分別以O(shè)A，OB，OB1所在的直線作為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（ ），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），

=（0，﹣1，﹣ ）， =（﹣ ）， =（0，﹣2，0）， =（﹣ ，﹣1，0），

設(shè) =（x，y，z）是平面C1AB1的一個(gè)法向量，

則 ，取x=1，得 =（1，0，1），

設(shè) =（a，b，c）是平面CAB1的一個(gè)法向量，

則 ，取a=1，得 =（1，﹣ ，1），

cos＜ ＞= = = ，

∴二面角C﹣AB1﹣C1（銳角）的余弦值為 ．

【解析】（1）推導(dǎo)出△BB1C是等邊三角形，取BC的中點(diǎn)為O，則BC⊥OB1 ， 由△ABC是等邊三角形，得BC⊥OA，從而BC⊥平面AOB1 ， 由此能證明BC⊥AB1 ． （2）分別以O(shè)A，OB，OB1所在的直線作為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣C1（銳角）的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．