【題目】如圖，在三棱柱中，為正三角形，平面平面，，為的中點(diǎn)，．

（1）求證：；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面,由線面垂直的性質(zhì)可得線線垂直；

（2）故以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)?/span>軸建立空間直角坐標(biāo)系,

分別求得平面與平面的法向量,利用空間向量求二面角的余弦值.

（1）證明:∵,為的中點(diǎn),

∴,

∵平面平面,平面平面,平面,

∵平面,

∴；

（2）連接,

∵,,

∴為正三角形,

∵為的中點(diǎn),

∴,

∵平面平面,平面平面,平面,

∴平面,

故以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)?/span>軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,

則,,,,,

設(shè)為平面的法向量,

則,

即,可取,則,

由（1）知為平面的法向量,

于是,

∴二面角的平面角的余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正四棱錐的底邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn)，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某種細(xì)菌的適宜生長(zhǎng)溫度為12℃~27℃，為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量（單位：個(gè)）隨溫度（單位：℃）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：

溫度/℃

14

16

18

20

22

24

26

繁殖數(shù)量/個(gè)

25

30

38

50

66

120

218

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示：

20

78

4.1

112

3.8

1590

20.5

其中，.

（1）請(qǐng)繪出關(guān)于的散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于溫度的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（結(jié)果精確到0.1）；

（3）當(dāng)溫度為27℃時(shí)，該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為多少？

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計(jì)分別為，，參考數(shù)據(jù)：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．

（1）當(dāng)a＝4時(shí)，求解不等式f（x）≥8；

（2）已知關(guān)于x的不等式f（x）在R上恒成立，求參數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體中，平面，，四邊形為菱形，，點(diǎn)，分別在棱，上.

（1）若平面，設(shè)，求的值；

（2）若，，直線與平面所成角的正切值為，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四川省雙流中學(xué)是一所國(guó)家級(jí)示范高中，具有悠久的辦學(xué)歷史、豐富的辦學(xué)經(jīng)驗(yàn).近年來，雙中共為國(guó)內(nèi)外高校輸送合格新生20000余名，其中為清華、北大、復(fù)旦、人大等一流學(xué)府輸送新生1800余名，上本科線人數(shù)年年超過千人，培養(yǎng)出省、市、縣高考冠軍17名，位居成都市同類學(xué)校前茅.該校高三某班有50名學(xué)生參加了今年成都市“一診”考試，其中英語成績(jī)服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如下：

（1）如果成績(jī)140分及以上為單科特優(yōu)，則該班本次考試中英語、數(shù)學(xué)單科特優(yōu)大約各多少人？

（2）試問該班本次考試中英語和數(shù)學(xué)平均成績(jī)哪個(gè)較高，并說明理由；

（3）如果英語和數(shù)學(xué)兩科都為單科特優(yōu)共有5人，把（1）中的近似數(shù)作為真實(shí)值，從（1）中這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中英語和數(shù)學(xué)雙科特優(yōu)的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：

則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓與x軸負(fù)半軸交于，離心率.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，連接AM,AN并延長(zhǎng)交直線x=4于兩點(diǎn)，若，直線MN是否恒過定點(diǎn)，如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.

（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求圖2中的二面角BCGA的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，促進(jìn)垃圾分類，某校組織了高三年級(jí)學(xué)生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識(shí)問卷作答，隨機(jī)抽出男女各20名同學(xué)的問卷進(jìn)行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績(jī)大于70分的為“合格”.

男

女

總計(jì)

合格

不合格

總計(jì)

（1）由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2聯(lián)表，是否有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān)？

（2）從上述樣本中，成績(jī)?cè)?/span>60分以下（不含60分）的男女學(xué)生問卷中任意選2個(gè)，求這2個(gè)學(xué)生性別不同的概率.

附：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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