Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．

（1）當(dāng)a＝4時(shí)，求解不等式f（x）≥8；

（2）已知關(guān)于x的不等式f（x）在R上恒成立，求參數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，]；（2）[﹣2，1].

【解析】

（1）根據(jù)a＝4時(shí)，有f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用絕對值的幾何意義，去絕對值求解.

（2）根據(jù)絕對值的零點(diǎn)有a﹣1和，分a﹣1，a﹣1和a﹣1時(shí)三種情況分類討論求解.

（1）當(dāng)a＝4時(shí)，f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，

（i）當(dāng)x≥3時(shí)，原不等式可化為3x﹣7≥8，解可得x≥5，

此時(shí)不等式的解集[5，+∞）；

（ii）當(dāng)2＜x＜3時(shí)，原不等式可化為2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9

此時(shí)不等式的解集；

（iii）當(dāng)x≤2時(shí)，原不等式可化為﹣3x+7≥8，解可得x，

此時(shí)不等式的解集（∞，]，

綜上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，]，

（2）（i）當(dāng)a﹣1即a＝2時(shí)，f（x）＝3|x﹣1|2顯然不恒成立，

（ii）當(dāng)a﹣1即a＞2時(shí)，，

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得最小值f（），

若f（x）在R上恒成立，則，此時(shí)a不存在，

（iii）當(dāng)a﹣1即a＜2時(shí)，f（x）

若f（x）在R上恒成立，則1，

解得﹣2≤a≤1，

此時(shí)a的范圍[﹣2，1]，

綜上可得，a的范圍圍[﹣2，1]．