【題目】如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8 ，且三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：y2=2px（p＞0）上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）證明：A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱；
（2）求拋物線E的方程．

【答案】
（1）證明：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），

∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22．

又∵y12=2px1，y22=2px2，

∴x22﹣x12+2p（x2﹣x1）=0，

即（x2﹣x1）（x1+x2+2p）=0．

又∵x1、x2與p同號(hào)，∴x1+x2+2p≠0．

∴x2﹣x1=0，即x1=x2．

由拋物線對(duì)稱性，知點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱．


（2）解：由（1）知∠AOx=30°，則y2=2px，x=6p，

∴y= x，y=2 p．

∴A（6p，2 p），

∵等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8 ，

∴（6p）2+（2 p）=（8 ）2．

∴p=2，

∴拋物線E的方程為y2=4x


【解析】（1）A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）根據(jù)|OA|=|OB|可得x12+y12=x22+y22 ． 由于A，B都在拋物線上進(jìn)而滿足y12=2px1 ， y22=2px2 ， 整理可得（x2﹣x1）（x1+x2+2p）=0．根據(jù)x1、x2與p同號(hào)可知x1+x2+2p≠0進(jìn)而可得x1=x2 ． 根據(jù)拋物線對(duì)稱性，知點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱．（2）由（1）可知∠AOx=30°，進(jìn)而根據(jù)拋物線和直線方程求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8 ，可得p，即可求拋物線E的方程．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)f（x）=log2||x|﹣1|．
（1）作出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）指出函數(shù)f（x）的奇偶性、單調(diào)區(qū)間及零點(diǎn)．

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【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)f（x﹣3）的定義域?yàn)椋?/span> ）
A.[﹣3，﹣1]
B.[0，2]
C.[2，5]
D.[3，5]

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【題目】某幾何體的三視圖如右圖，其正視圖中的曲線部分為半個(gè)圓弧，則該幾何體的表面積為（ ）
A.19+πcm2
B.22+4πcm2
C.10+6 +4πcm2
D.13+6 +4πcm2

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【題目】分別求出適合下列條件的直線方程： （Ⅰ）經(jīng)過點(diǎn)P（﹣3，2）且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍；
（Ⅱ）經(jīng)過直線2x+7y﹣4=0與7x﹣21y﹣1=0的交點(diǎn)，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距離．

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【題目】已知函數(shù)y= sin（ωx+ ）（ω＞0）．
（1）若ω= ，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對(duì)稱中心；
（2）函數(shù)的圖象上有如圖所示的A，B，C三點(diǎn)，且滿足AB⊥BC． ①求ω的值；
②求函數(shù)在x∈[0，2）上的最大值，并求此時(shí)x的值．

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【題目】如圖所示，已知空間四邊形OABC各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，求0E與BF所成角的余弦值．

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【題目】已知過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，斜率為2 的直線交拋物線于A（x1 ， y1）和B（x2 ， y2）（x1＜x2）兩點(diǎn)，且|AB|=9，
（1）求該拋物線的方程；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若 ，求λ的值．

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【題目】已知點(diǎn)F1 ， F2分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

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