Question

【題目】設(shè) 為等差數(shù)列 的前 項和，其中 ，且 ．

（1）求常數(shù) 的值，并寫出 的通項公式；

（2）記 ，數(shù)列 的前 項和為 ，若對任意的 ，都有 ，求常數(shù) 的最小值．

Answer 1

【答案】(1)．(2)4.

【解析】分析：（1）由題意可求得，，根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列可得，進而得到公差，于是．（2）由（1）得，根據(jù)錯位相減法求和可得，結(jié)合題意可得恒成立．令，可判斷數(shù)列{}單調(diào)遞減，由單調(diào)性可得當，都有成立．

詳解：（1）由及，得，．

∵數(shù)列是等差數(shù)列，

∴，

解得．

∴，

∴公差，

．

另解：設(shè)公差為，由得，

即

所以解得

所以．

（2）由（1）知，

∴.

∴，①

∴，②

①②得

．

∴

由，得．

設(shè)，則

∵，

∴．即數(shù)列{}單調(diào)遞減．

又，，

∴當時，恒有．

故存在時，使得對任意的，都有成立．