Question

【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組： ，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率；
（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．

Answer 1

【答案】解：(I)由頻率分布直方圖知，
分?jǐn)?shù)在 的頻率為 ，
分?jǐn)?shù)在 的頻率為 ，
則分?jǐn)?shù)小于70的頻率為 ，
故從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率為 .
(Ⅱ)由頻率分布直方圖知，
樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間 的人數(shù)為 (人)，
已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，
所以樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間 內(nèi)的人數(shù)為 (人)，
設(shè)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間 內(nèi)的人數(shù)為 ，
則 ，得 ，
所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間 內(nèi)的人數(shù)為20人.
(Ⅲ)由頻率分布直方圖知，
分?jǐn)?shù)不小于70的人數(shù)為 (人)，
已知分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等，
故分?jǐn)?shù)不小于70分的男生人數(shù)為30人，
又因為樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，
故男生的頻率為： ，
即女生的頻率為： ，
即總體中男生和女生人數(shù)的比例約為：
【解析】本題主要考查頻率分布直方圖，以及用樣本估計總體。（1）主要根據(jù)頻率分布直方圖中的頻率=組距×高，可得分?jǐn)?shù)小于70的概率。（2）先計算樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間【50,90】之間的人數(shù)，分別計算【40,50】之間的，小于40的人數(shù)，進(jìn)而求出總體中【40,50】之間的人數(shù)。（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等，根據(jù)頻率分布直方圖即可求出答案。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用頻率分布直方圖和用樣本的頻率分布估計總體分布的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚的看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計總體的分布情況．