已知函數(shù),其中a為正實(shí)數(shù),是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)f(x)在[b,+∞)上的最小值.
【答案】分析:(Ⅰ)依題意,x=是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),由f′()=0即可求得a的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=,令f′(x)=0,可求得極值點(diǎn),通過(guò)對(duì)f(x)與f′(x)的變化情況列表,可求得f(x)的單調(diào)區(qū)間,再對(duì)b分<b<與b≥兩類(lèi)討論即可求得函數(shù)f(x)在[b,+∞)上的最小值.
解答:解:f′(x)=
(Ⅰ)因?yàn)閤=是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),
所以f′()=0,
因此,a-a+1=0,
解得a=
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=時(shí),x=是y=f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),故所求a的值為.…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f′(x)=,
令f′(x)=0,得x1=,x2=,
f(x)與f′(x)的變化情況如下:
x(-∞,,,+∞)
f′(x)+-+
f(x)
所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,),(,+∞).單調(diào)遞減區(qū)間是(,).
當(dāng)<b<時(shí),f(x)在[b,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增,
所以f(x)在[b,+∞)上的最小值為f()=,
當(dāng)b≥時(shí),f(x)在[b,+∞)上單調(diào)遞增,
所以f(x)在[b,+∞)上的最小值為f(b)==.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,突出分類(lèi)討論思想與方程思想的考查,屬于中檔題.
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(14分)已知函數(shù),其中a為實(shí)數(shù)。

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(3)證明,對(duì)于任意的正整數(shù)m,n,不等式恒成立。

 

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已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式,其中a為正實(shí)數(shù),e=2.718….
(I)若數(shù)學(xué)公式是y=f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),求a的值;
(II)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式,其中a為實(shí)數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)證明:對(duì)任意的正整數(shù)m,n,不等式數(shù)學(xué)公式恒成立.

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(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)f(x)在[b,+∞)上的最小值.

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