Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=CC1=3，D為AB的中點(diǎn)

（1）求證：AC⊥BC1；
（2）求異面直線AC1與CB1所成角的余弦值；
（3）求二面角D﹣CB1﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AB=5，BC=4，AC=CC1=3，

∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC，

又CC1⊥平面ABC，∴CA，CB，CC1兩兩垂直，

以C為原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，3），B1（0，4，3），

=（﹣3，0，0）， =（0，﹣4，3），

∵ =0，∴ ⊥ ，

∴AC⊥BC1．

（2）解：∵ =（﹣3，0，3）， =（0，4，3），| |=3 ，| |=5，

cos＜ ＞= = = ，

∴異面直線AC1與CB1所成角的余弦值為 ．

（3）解：∵D是AB的中點(diǎn)，∴D（ ）， =（ ）， =（0，4，3），

∵AC⊥BC1，AC⊥CC1，BC1∩CC1=C1，

∴AC⊥平面BCB1，

∴平面BCB1的一個(gè)法向量 =（3，0，0），

設(shè)平面DCB1的一個(gè)法向量 =（x，y，z），

則 ，取y=1，得 =（﹣ ，1，﹣ ），

cos＜ ＞= = =﹣ ，

由圖知二面角D﹣CB1﹣B的平面角是銳角，

∴二面角D﹣CB1﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）以C為原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC⊥BC1 ． （2）求出 =（﹣3，0，3）， =（0，4，3），利用得量法能地求出異面直線AC1與CB1所成角的余弦值．（3）求出平面BCB1的一個(gè)法向量和平面DCB1的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角D﹣CB1﹣B的余弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的異面直線及其所成的角和空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，需要了解異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)才能得出正確答案．