Question

（2008•如東縣三模）設(shè)函數(shù)f(x)=lg(

2

x+1

-1)的定義域?yàn)榧�合A，函數(shù)g(x)=

1-|x+a|

的定義域?yàn)榧�合B．
（1）判定函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由．
（2）問(wèn)：a≥2是A∩B=∅的什么條件（充分非必要條件、必要非充分條件、充要條件、既非充分也非必要條件）？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）求出集合A的定義域，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷f（x）的單調(diào)性即可．
（2）求出集合B，利用A∩B=∅，判斷a≥2與a＜2時(shí)A與B的關(guān)系，利用充要條件判斷方法判斷即可．

解答：解：（1）A={x|

2

x+1

-1＞0⇒

2

x+1

-1＞0?

x-1

x+1

＜0
?（x+1）（x-1）＜0，∴-1＜x＜1
∴A=（-1，1），定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
f（-x）=lg

1+x

-x+1

=lg(

1-x

1+x

)-1=-lg

1-x

1+x

=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）B={x|1-|x+a|≥0}
|x+a|≤1?-1≤x+a≤1?-1-a≤x≤1-a，
B=[-1-a，1-a]
當(dāng)a≥2時(shí)，-1-a≤-3，1-a≤-1，
由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，A∩B=∅，
反之，若A∩B=∅，可取-a-1=2，則a=-3，a小于2．（注：反例不唯一）
所以，a≥2是A∩B=∅，的充分非必要條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，集合的交集與充要條件的關(guān)系，考查計(jì)算能力．