Question

（2008•如東縣三模）函數(shù)y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，其中mn＞0，則

1

m

+

2

n

的最小值為

8

．

Answer 1

分析：由題意可求得定點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入y=mx+n，可得到m，n之間的關(guān)系，利用基本不等式即可得答案．

解答：解：∵函數(shù)y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=1，
∴A（2，1）．
又點(diǎn)A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，其中mn＞0，
∴2m+n=1，又mn＞0，
∴m＞0，n＞0．
∴

1

m

+

2

n

=（

1

m

+

2

n

）•（2m+n）=4+

n

m

+

4m

n

≥8（當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=

1

2

時(shí)取“=”）．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，根據(jù)題意得到m，n之間的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．