Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（1）若曲線(xiàn)上一點(diǎn)的極坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）,；（2）.

【解析】試題分析：（1）把代入曲線(xiàn)，再化為直角坐標(biāo)，結(jié)合直線(xiàn)的參數(shù)方程得直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，得直線(xiàn)的普通方程，然后根據(jù)即可得到曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可求得的最大值.

試題解析：（1）把代入曲線(xiàn)可得

化為直角坐標(biāo)為，

又過(guò)點(diǎn)，得直線(xiàn)的普通方程為；

可化為.

由可得，

即曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.

（2）把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程得，，化簡(jiǎn)得，①

可得，故與同號(hào).

∴ ，

∴時(shí)，有最大值.

∴此時(shí)方程①的，故有最大值.