【題目】已知正三棱錐的高為6,側(cè)面與底面成的二面角,則其內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切)的表面積為( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

過(guò)點(diǎn)P作PD平面ABC于D,連結(jié)并延長(zhǎng)AD交BC于E,連結(jié)PE,ABC是正三角形,AE是BC邊上的高和中線,D為ABC的中心.由此能求出棱錐的全面積,再求出棱錐的體積,設(shè)球的半徑為r,以球心O為頂點(diǎn),棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐,利用等體積能求出球的表面積.

如圖,過(guò)點(diǎn)P作PD平面ABC于D,

連結(jié)并延長(zhǎng)AD交BC于E,連結(jié)PE,ABC是正三角形,

AE是BC邊上的高和中線,D為ABC的中心.

為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角,

=

∵PD=6,∴DE=2,PE=4 , AB=12,

∴S△ABC=×(12)2=36,S△PAB=S△PBC=S△PCA==24

∴S=108.

設(shè)球的半徑為r,以球心O為頂點(diǎn),棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐,

∵PD=6,∴VP﹣ABC=366=72

則由等體積可得r==2,

∴S=4π22=16π.

故選B.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,是等邊三角形,已知

(1)設(shè)上的一點(diǎn),證明:平面平面;

(2)求四棱錐的體積.

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②有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱;

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④用一個(gè)平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間那部分的幾何體是棱臺(tái);

⑤存在一個(gè)四棱錐,其四個(gè)側(cè)面都是直角三角形.

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