【題目】如圖所示，在直三棱柱中，，，，為線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）連接，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，利用中位線定理得出，再利用線面平行的判定定理可得出結(jié)論；

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線、、的方向?yàn)?/span>、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得二面角的正弦值.

（Ⅰ）連接，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，

由題可知四邊形為矩形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）由題可知，，所以.

又因?yàn)?/span>平面，所以可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線、、的方向?yàn)?/span>、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.

所以，，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

則，令，可得.

同理可得平面的一個(gè)法向量為.

所以，

設(shè)二面角的大小為，則.

因此，二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某地區(qū)隨機(jī)抽測(cè)120名成年女子的血清總蛋白含量（單位：），由測(cè)量結(jié)果得如圖頻數(shù)分布表：

（1）①仔細(xì)觀察表中數(shù)據(jù)，算出該樣本平均數(shù)______；

②由表格可以認(rèn)為，該地區(qū)成年女子的血清總蛋白含量Z服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s.經(jīng)計(jì)算，該樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

醫(yī)學(xué)上，Z過高或過低都為異常，Z的正常值范圍通常取關(guān)于對(duì)稱的區(qū)間，且Z位于該區(qū)間的概率為，試用該樣本估計(jì)該地區(qū)血清總蛋白正常值范圍.

120名成年女人的血清總蛋白含量的頻數(shù)分布表

分組

頻數(shù)f

區(qū)間中點(diǎn)值x

2

65

130

8

67

536

12

69

828

15

71

1065

25

73

1825

24

75

1800

16

77

1232

10

79

790

7

81

567

1

83

83

合計(jì)

120

8856

（2）結(jié)合（1）中的正常值范圍，若該地區(qū)有5名成年女子檢測(cè)血清總蛋白含量，測(cè)得數(shù)據(jù)分別為83.2，80，73，59.5，77，從中隨機(jī)抽取2名女子，設(shè)血清總蛋白含量不在正常值范圍的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：若，則.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上．直線過點(diǎn)，且與橢圓 交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)直線的方程，若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】袋子中有四個(gè)小球，分別寫有“四”“校”“聯(lián)”“考”四個(gè)字，有放回地從中任取一個(gè)小球，取到“聯(lián)”就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)直到第二次停止的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，且用1，2，3，4表示取出小球上分別寫有“四”“校”“聯(lián)”“考”四個(gè)字，以每?jī)蓚�(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 23 34據(jù)此估計(jì)，直到第二次就停止的概率為______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在多面體中，四邊形是正方形，平面平面，.

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）如圖（1）已知E，F，G，H為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且EHFG．求證：EHBD．

（2）如圖（2）：S是平行四邊形ABCD平面外一點(diǎn)，M，N分別是SA，BD上的點(diǎn)，且，求證：MN平面SBC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,交于點(diǎn),為中點(diǎn),,.

（1）求證:;

（2）求證:平面;

（3）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

已知二項(xiàng)式的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．

(1)求的值;

(2)設(shè).

①求的值;

②求的值;

③求的最大值.

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